Maximální objem kuželu vepsaného kouli

4. března 2017 v 19:58 | gregor moldavit
Musím na jeden článek přerušit moji havelijádu z aktuálních důvodů. Tentokrát o něčem jiném.

Četl jsem nařízení, že maturovat v ČR nutno i z matematiky, nelze se vyhnout na jiný předmět. Loni jsem kdesi viděl statistiku, kterak vysoké procento studentíků z tohoto předmětu puklo. Pomyslel jsem si, že mají tu smůlu, že jsem je nemohl doučovat, jako tady v Německu po mnoho let celé množství těch, co s matikou měli problémy. Nakonec jsem je maturitou dostal všechny. Před týdnem jsem pílil na zahradě dřevo pokácených stromů a pěkně si přetáhl srdce. Už to nějak moc nejde, sil ubývá. Tak jsem si dal dva dny pauzu od těžké práce. Protože všechno špatné je k něčemu dobré, vrátil jsem se na tu dobu zase do oněch časů a vytáhl můj vědecký kalkulátor, jestli bych s ním jako ještě uměl zacházet? Vyhodil jsem dávno prázdné baterie, dal nové a mačkal knoflíky, co se bude dít? Už jsem taky hodně zapomněl. Tak mě napadlo, že bych mohl s českými maturanty probrat jednu dost častou maturitní otázku z oboru funkcí. Čas myslím jedna hodina. Tedy:

Jaká musí být výška kužele vepsaného kouli, v poměru k jejímu průměru, aby kužel měl maximální objem?

Kdo nikdy neměl funkce a derivace, nebo je dávno zapomněl, nemá celkem šanci to vyřešit. Naopak student, který chce letos z matiky maturovat, by to měl vytřepat z rukávu. V tuhle dobu propuká panika maturantů, že už se to blíží. Kdo ovšem teď vůbec nemá ahnug jak začít, ten už to bude do léta těžko dohánět.

Ale kdo chce, může teď začít se mnou odvozovat a počítat. Ať už ten, co má před maturitou, nebo jiný, co maturoval před padesáti lety.

Snad každý ještě vítězně napíše vzorec na objem kužele:

V = 1/3 π r2 h

A dále? Jo, to už je horší. Abychom mohli najít maximum funkce, musíme ji nejprve mít. Onu všeobecnou funkci

f (x) = ax3 + bx2 + cx + d

Kužel se dotýká svým povrchem povrchu koule ve špičce (tedy v jednom bodu) a obvodu základny (tedy kružnici). Výška může být od nuly do průměru koule. (Který není zadán.) Když si to představíme, bude základna ležet asi tak kousek pod středem koule. Snad se shodneme na tom, že bez nákresu to nepůjde. Radějí pořádně rýsujte, nemalujte rychle nějakou zrůdu na pytlík od mouky! Ten čas se vyplatí.



Další krok je nyní jasný. Výška kuželu se zvětšuje, když základna klesá směrem dolu, při čemž se až ke středu zvětšuje její poloměr, pak to jde obráceně. Naše otázka života a smrti zní, v jaké matematické závislosti?

R je poloměr koule. Vzdálenost mezi středem koule a základnou označíme jako x. Tím platí

h = R + x

Kde vzít r, poloměr základny kuželu? Z Pythagorovy věty. Vidíme, že

r2 = R2 - x2

Takže V = 1/3 π (R2 - x2) (R + x)

Nyní tedy máme naši slavnou funkci, ale co si s tím salátem počneme?
x může být jakékoli číslo, dokonce i negativní, tedy severně od středu koule. R, poloměr koule, nebyl zadán, může to být jakékoli kladné číslo > 0. Co s tím?

Klid, klid! Co známe je 1/3 π, to zná každý. Jenže právě to navrhuji z rovnice odstranit. Je to pouze konstata, kterou násobíme každý výsledek f(x) abychom dostali objem, na který se nikdo neptá. Musíme pouze najít h. 1/3 π tedy vyhodíme.

Dále - jak známo, jsou všechny koule geometricky stejné, jedno jestli pingpongový míček, nebo Slunce. My si tedy vezmeme kouli s poloměrem 1, jakékoli délkové jednotky. Co platí pro ni, platí pro všechny ostatní, R zaměníme za číslo 1. Tím je taky x možné pouze od -1 do +1.

f (x) = (12 - x2) (1 + x) a teď to vynásobíme

f (x) = 1 - x2 + x - x3 a dáme si do řady

f (x) = - x3 - x2 + x + 1
A funkce je jak malovaná. Zadáme ji do kalkulátoru, abychom si udělali představu. Osa x je od -1 do +1.


Ono maximum bude asi tam, kde jsme si to mysleli. Zkusíme změřit graficky. Bod umístím někde na maximu, přesně to ovšem nejde.


x = 0,33 a něco. To je ovšem toliko graficky. My to musíme dostat zcela přesně.

Jak znám žáky, každý teď začne okamžitě derivovat.

f´ (x) = -3x2 - 2x + 1

Pak to ještě položí gleich 0.
f´(x) = -3x2 - 2x + 1 = 0

Neříkám, že je to chybně, ale katastrofa přijde, když se člověk zeptá proč? Odpověď, "to se dělá, když hledáme maximum".
Já to věděl. Takového žáka vyhodit. Nejsme v kostele, abychom vykonávali předepsané náboženské rituály, jejichž význam chápe toliko nebeský pámbůch. V matematice musíme vědět proč něco děláme.

Co je to derivace? Stoupání funkce, tedy naší křivky v určitém bodě x. A jak jiste víte, když vylezete na vrchol už to dále nahoru nejde, jenom zase dolu a na nejvyšším bodě je tedy stoupání = 0. Proto derivace tohoto bodu x musí mít hodnotu 0, tedy protínat osu x. Přidáme do grafu křivku derivace.


Nyní je to s tím stoupáním určitě zcela jasné. Teď už jenom hohnotu x najít. Dnes asi každý tu funkci zadá do kalkulátoru a má x1 a x2. Kvadratická rovnice má 2 výsledky. My to museli počítat zu Fuß pomocí "Mitternachtsformel". (Jestli česky "půlnoční vzorec" mi není známo?)
V dobách pradávných jsem si na to napsal tabulku v EXCELu.

Mitternachtsformel(-b/2+- Wurzel D)/2a
D =b^2 - 4 ac
a =-3,00D =16,0000
b =-2,00Wurzel D =4,0000
c =1,00
x1 =-1,00
x2 =0,33333

Vysledky, oba správné, -1 a +1/3. První je minimum, druhý naše maximum.

h = R + x
Tedy poloměr koule (což je půlka průměru, ale kdo tohle neví, ať se jde bodnout!) + 1/3 polokoule. Sečíst zlomky je úloha pro základní školu a dostaneme 2/3.

Výška kuželu s maximálním objemem je 2/3 průměru.

fertig!

No a pro mě to byla moje poslední vyučovací hodina.
 

Buď první, kdo ohodnotí tento článek.

Komentáře

1 nar.soc. nar.soc. | 5. března 2017 v 11:24 | Reagovat

Pěkná demonstrace.
Teď jen zvážit k čemu ( mimo teoretické uvažování ), je to prakticky potřebné?

2 gregormoldavit gregormoldavit | 5. března 2017 v 16:06 | Reagovat

[1]: nar.soc.
Tuto otázku si klade žáček už na základce. Kdy byla bitva u Sudoměře? Na co to v životě potřebuji vědět?

Derivace jistě sotva kdo v životě na něco potřebuje. Jsou tu od toho, abychom našli to jedno nejideálnější řešení, ale když tak to uděláme asi tak přibližně a je to buřt. Něco jiného je to u projektů, kde jde o miliony. Třeba jak vést dálnici s mosty, aby stála co nejméně? Nebo jakou výšku a průměr má mít válcová vojenská konzerva, aby se jich do letadla vešlo co nejvíce při nejmenší váze obalu? Atd...

Skutečně se ale domnívám, že dnešní matematika je pro maturanta příliš těžké a mnoho by se dalo odložit až na vysokou. Třeba počet pravděpodobnosti, integrální počet a pod... V Německu na matiku údajně vyletí třetina studentů.

3 Jaroslav Pokorný Jaroslav Pokorný | E-mail | 6. března 2017 v 12:05 | Reagovat

Poslechl jsem tě a šel se bodnout. Na průmce jsme matiku vůbec neměli a pro technické výpočty nám stačilo logáro. Záviděl jsem své ženě, která maturovala na gymplu a matiku musela studovat i když ji nebavila. Mě baví velice, ale ten skluz ve vzdělání se už dnes těžko dá dohnat. Pro výpočet příhradových konstrukcí jsem kdysi používal grafiku a pro jednoduché mosty s plošným, či bodovým zatížením jednoduché vzorečky. Dnes už jsem out a diferenciály i integrály, by se mi hodily. Stejně jako angličtina. V té mě mohou doučovat vnučky a tak jsem vděčný roku 1989, který změnil poměry u nás a mé následnice si nemusí připadat méněcenné na internetu.

4 matka matka | 7. března 2017 v 17:41 | Reagovat

Tož smekám. I kdybych se takovou matiku na škole učila, šanci bez doučování bych neměla.
Dříve možná v češtině, ale nyní ani to ne.

5 Jroslav Pokorný Jroslav Pokorný | E-mail | 15. března 2017 v 16:43 | Reagovat

Proč tolik lidí puká z matiky? Protože dnešní školství je zkurvenější než za komunistů. Bývalé učňáky nyly zrušeny a jejich absolventi, kteří se učí místo řemesla matiku a ti stejně nechápou, jako ji nechápali dřív. Nápad parlamentu, že i kadeřník, nebo kuchař musí mít maturitu a to z matematiky, je na infarkt. Naše školství zničilo i to, co bylo za komunismu dobré a to povinné prohlídky dětí u zubaře. Učitelku vyhodí ze školy, protože myla prvňáky a jedna maminka si stěžovala. Má žena omdlévala. Neumím si představit, že bych bandu kluků z 1. třídy, nechala ve sprchách bez dozoru. Taky by mě asi dnes vyhodili. Staré přísloví praví "ryba smrdí od hlavy". My žijeme v absurdistánu, kde pár blbů si říká poslaneckému vytváření problémů občanům, práce.

6 gregormoldavit gregormoldavit | 16. března 2017 v 18:12 | Reagovat

[5]: JP
Mám úctu ke každému řemeslu, ale jak se zmiňuji, skutečně není potřeba, aby ševci a holiči studovali integrální počet.

Nový komentář

Přihlásit se
  Ještě nemáte vlastní web? Můžete si jej zdarma založit na Blog.cz.
 

Aktuální články

Reklama